Perpendiculaire commune - Polynésie, mars 2023

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ . On considère :

• $d_1$  la droite passant par le point $\text{H}(2;3;0)$  et de vecteur directeur  $\overrightarrow{u}(1;-1;1)$ ;
• $d_2$   la droite de représentation paramétrique  $\{\begin{array}{lcl}x& =& 2k-3\\ y& =& k\\ z& =& 5\end{array}$ où $k\in \mathbb{R}$ .

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite $\mathrm{\Delta }$ qui soit perpendiculaire aux droites   $d_1$ et   $d_2$ .

1. a. Déterminer un vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ de la droite   $d_2$ .
    b. Démontrer que les droites   $d_1$  et   $d_2$  ne sont pas parallèles.
    c. Démontrer que les droites  $d_1$  et   $d_2$  ne sont pas sécantes.
    d. Quelle est la position relative des droites  $d_1$  et   $d_2$ ?

2. a. Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{w}(-1;2;3)$ est orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et à $\overrightarrow{v}$ .
    b. On considère le plan $P$ passant par le point $\text{H}$ et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ . 
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est : $5x+4y-z-22=0$ .
Démontrer que l'intersection du plan $P$ et de la droite   $d_2$  est le point $\text{M}(3;3;5)$ .

3. Soit $\mathrm{\Delta }$ la droite de vecteur directeur  $\overrightarrow{w}$ passant par le point $\text{M}$ . Une représentation paramétrique de  $\mathrm{\Delta }$ est donc donnée par :  $\{\begin{array}{lcl}x& =& -r+3\\ y& =& 2r+3\\ z& =& 3r+5\end{array}$  où  $r\in \mathbb{R}$ .
    a. Justifier que les droites   $\mathrm{\Delta }$ et  $d_1$  sont perpendiculaires en un point $\text{L}$ dont on déterminera les coordonnées.
    b. Expliquer pourquoi la droite  $\mathrm{\Delta }$  est solution du problème posé.